Есть ли в документообороте возможность установить криптопровайдер только на сервере и использовать ключи и сертификаты на клиентах

Да, такая возможность есть. Для проверки необходимо настроить тестовый контур.
В удаленном тонком клиенте нет ни криптопровайдера (КРИПТО ПРО), ни самого сертификата. Это видно при проверке сертификата в базе.



Тем не менее в обработке Текущие дело ЭДО работает как отправка:

так и подписание документов ЭДО: